原因が分かった気がする。なんか腐ったDNSに当たって名前解決自体ができなくなっているっぽい。WILLCOM任せで自動で割り当てられたDNSサーバーの中に、おかしな情報を返してくるやつが混ざってない？　試しにDNSサーバーをWILLCOM任せにせずに、別プロバイダのDNSサーバーを使うように設定を変えてみたら、今のところ上記の症状が発生していない。

ちなみにそれに気づいたのは、その状態の時にIEで、かなり昔にサーバーを切り替えたサービスにアクセスしようとしたところ、もうキャッシュ期間もとっくに過ぎているはずなのに、切り替え前の古いサーバーにアクセスしにいったから。